Доведення Теореми. Метод Паралелограмів.

Метод паралелограмів

Нехай A,B, C — вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два  прямокутники кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Для формального доведення, нам необхідні чотири елементарні леми:

Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.

Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.

Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).

Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.

Перейдемо до доведення:

Нехай ACB — прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.

На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.

З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.

Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.

Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF= AB2)

Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH = AC2

З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, абоAB2 + AC2 = BC2.

Про Піфагора, як вченого та його внески в науку

 Піфагор першим із грецьких математиків вивчав пропорції та найпростіші прогресії. Піфагорійці розглядали три види прогресій: арифметичну, геометричну, гармонічну. Другою визначною геометричною теоремо, яку історики приписують Піфагору, є теорема про суму мір кутів трикутника, що дорівнює мірі двох прямих кутів.

   Піфагор перший використав метод доведення від супротивного, він створив елементарні принципи побудови правильних многогранників, які називав космічними фігурами. Вперше розробив математичну теорію музики. Він вважав, що куля – найдосконаліша з усіх геометричних тіл і що Земля повинна мати форму кулі.

   Особливу увагу Піфагор приділяв числам. Він вважав, що 1 – означена початком всього; 2 – означає протяжність» 1,2,3,4 – відповідають точці, прямій, квадрату і кубові; число 5 символізує колір; 6 – холод; 7 – розум, здоров’я та світло; 8 – кохання, дружбу; 9 – постійність; 10 = 1 + 2 + 3 + 4 – ідеальне число. 10, згідно піфагорійському вченню,  –  таке число на яке можна перевести всі предмети і явища природи з його протилежностями; 13 і 14 були ненависними числами. Піфагорійці розрізняли такі види чисел: добрі числа – непарні; злі числа – парні; числа досконалі – числа, що дорівнюють сумі своїх множників (6 = 1 + 2 + 3); дружні числа – такі числа, одне з яких дорівнює сумі всіх дільників іншого, але без самого числа ( 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 та 248) та навпаки ( 220  та  248 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 4 + 55 + 110); числа пірамідальні; числа многокутні та інші.

   Вони з’ясували, що сума кількох послідовних непарних чисел, починаючи з одиниці, дорівнює квадрату їх кількості ( 1 + 3 = 2² = 4).

    Найстрашнішою клятвою в піфагорійців вважалася клятва числом 36, що має такі властивості: 36 = 1³ + 2³ + 3³, 36 = (1 + 3 + 5 + 7) + ( 2 + 4 + 6 + 8).

      Прямокутні трикутники, сторони яких виражаються натуральними числами, називаються піфагоровими трикутниками. Піфагорових трикутників є безліч. Це, наприклад, прямокутні трикутники зі сторонами 5, 2, 13, або 7, 24, 25, або 13, 14, 15 і т. д.

   Піфагор прославився як філософ. Йому належать вислови, які й сьогодні не втратили своєї актуальності.

1. Живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями. 

2. Твори велике, не обіцяючи великого.

3. Коли хочеш спати, не заплющуй очей, поки не проаналізуєш свої вчинки за минулий день.

4. Тимчасова невдача краща за тимчасовий успіх.

5. Не роби нічого ганебного ні в присутності інших, ні таємно.

6. Лише неблагородна людина здатна в очі хвалити, а поза очі злословити.

7. Роби лише те, що в майбутньому не засмутить тебе.

8. Все впорядковується відповідно числам.