Метод побудови. Доведення Гофмана.
Побудуємо трикутник АВС з прямим кутом С. Побудуємо відрізок BF рівний CB, BF перпендикулярний CB. Побудуємо BE рівний AB, BE
перпендикулярний AB. Побудуємо AD рівний AC, AD
перпендикулярний AC. Точки F, C, D належать одній прямій. Так як чотирикутники ADFB и ACBE
рівновеликі, т. Трикутники ABF і ЕCB рівні. Трикутники ADF і
ACE рівновеликі. Віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників спільний для них трикутник
АВС, отримаємо: 1/2а2+1/2b2=1/2c2. а2+b2=c2
Доведення теореми через косинус кута
Нехай АВС — даний прямокутний трикутник з прямим кутом С. Проведемо висоту
CD з з вершини прямого кута С.
По означенню косинуса кута (Косинусом гострого кута прямокутного
трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи)
соsА=AD/AC=AC/AB. Звідси AB*AD=АС2 Аналогічно соsВ=BD/BC=BC/AB. Звідси
AB*BD=ВС2. Додаємо почленно дві рівності. Так як AD+DB=AB, маємо:
Теорема доведена
АС2+ВС2=АВ(AD + DB)=АВ2.
Доведення Епштейна
Тут в якості складових
частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні,
зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF.
Розкладання на
трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.
Немає коментарів:
Дописати коментар