Доведення Теореми. Метод Паралелограмів.

Метод паралелограмів

Нехай A,B, C — вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на ній. Лінія ділить квадрат на два  прямокутники кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Для формального доведення, нам необхідні чотири елементарні леми:

Якщо дві сторони одного трикутника і кут між ними дорівнюють відповідно двом сторонам та куту між ним іншого трикутника, то такі трикутники рівні (сторона-кут-сторона).

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, що має таку саму основу і таку саму висоту.

Площа прямокутника дорівнює добутку двох суміжних сторін.

Площа квадрата дорівнює добутку двох його сторін (випливає з третьої леми).

Тоді кожен верхній квадрат пов'язаний з трикутником, конгруентним з іншим трикутником, який пов'язаний поворотом з одним із двох прямокутників, що утворюють нижній квадрат.

Перейдемо до доведення:

Нехай ACB — прямокутний трикутник з прямим кутом CAB.

На кожній стороні BC, AB, і CA побудуємо квадрати CBDE, BAGF та ACIH в такому ж порядку. Побудова квадратів тут же вимагає попередньої теореми Евкліда, і залежить від постулату паралельності.

З точки A проводимо пряму паралельну до BD і CE. Вона перпендикулярно перетне відрізки BC та DE в точках K та L, відповідно.

Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.

Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

Трикутники ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF= AB2)

Аналогічно міркуючи, отримаємо CKLE = ACIH = AC2

З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, абоAB2 + AC2 = BC2.